若函數(shù)y=f(x),x∈D同時(shí)滿足下列條件:
(1)在D內(nèi)的單調(diào)函數(shù);
(2)存在實(shí)數(shù)m,n,當(dāng)定義域?yàn)閇m,n]時(shí),值域?yàn)閇m,n].則稱此函數(shù)為D內(nèi)可等射函數(shù),設(shè)f(x)=
ax+a-3lna
(a>0且a≠1),則當(dāng)f (x)為可等射函數(shù)時(shí),a的取值范圍是
(0,1)∪(1,2)
(0,1)∪(1,2)
分析:求導(dǎo)函數(shù),判斷函數(shù)為單調(diào)增函數(shù),根據(jù)可等射函數(shù)的定義,可得m,n是方程
ax+a-3
lna
= x
的兩個(gè)根,構(gòu)建函數(shù)g(x)=
ax+a-3
lna
- x
,則函數(shù)g(x)=
ax+a-3
lna
- x
有兩個(gè)零點(diǎn),分類討論,即可確定a的取值范圍.
解答:解:求導(dǎo)函數(shù),可得f′(x)=ax>0,故函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)
∵存在實(shí)數(shù)m,n,當(dāng)定義域?yàn)閇m,n]時(shí),值域?yàn)閇m,n].
∴f(m)=m,f(n)=n
∴m,n是方程
ax+a-3
lna
= x
的兩個(gè)根
構(gòu)建函數(shù)g(x)=
ax+a-3
lna
- x
,則函數(shù)g(x)=
ax+a-3
lna
- x
有兩個(gè)零點(diǎn),g′(x)=ax-1
①0<a<1時(shí),函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,0),單調(diào)減區(qū)間為(0,+∞)
∵g(0)>0,∴函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),故滿足題意;
②a>1時(shí),函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0),單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞)
要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),則g(0)<0,∴
1+a-3
lna
< 0
,∴a<2
∴1<a<2
綜上可知,a的取值范圍是(0,1)∪(1,2)
故答案為:(0,1)∪(1,2).
點(diǎn)評:本題考查新定義,考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,正確理解新定義是關(guān)鍵.
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1x
)的定義域?yàn)?!--BA-->
{x|x≥1}
{x|x≥1}

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f(2012)>e2012f(0)
f(2012)>e2012f(0)

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設(shè)f(x)=2x3+ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)為f′(x),若函數(shù)y=f'(x)的圖象關(guān)于直線x=-
1
2
對稱,且f′(1)=0.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a,b的值;
(Ⅱ)若對于任意實(shí)數(shù)x,
1
6
f′(x)+m>0
恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=x2+(2a-1)x-alnx,g(x)=-
4x
-alnx
(a∈R).
(1)a<0時(shí),求f(x)的極小值;
(2)若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象在x∈[1,3]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M,N,求a的取值范圍.

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