Question

設a∈R，x∈[-1，1]時，函數(shù)y=-x²-ax+b有最小值-1，最大值1，求使函數(shù)取得最小值和最大值時相應的x值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：首先把二次函數(shù)轉化為頂點式，然后根據(jù)不定對稱軸和單調區(qū)間的關系分五種情況進行討論①當-

a

2

=0時②當0＜-

a

2

＜1時③當-1＜-

a

2

＜0時④當-

a

2

≥1時⑤當-

a

2

≤-1時，最后確定結果．

解答： 解：函數(shù)y=-x²-ax+b=-(x+

a

2

)2+

a2

4

+b
則函數(shù)為開口方向線下，對稱軸為x=-

a

2

的拋物線
當①-

a

2

=0時，即a=0
y_max=b=1 y_min=-1+a+b=-1
解得a=-1與a=0矛盾舍去
②當0＜-

a

2

＜1時，即0＞a＞-2時，ymax=

a2

4

+b=1 y_min=-1+a+b=-1
解得：a=2±2

2

由于0＞a＞-2
所以a=2-2

2

③當-1＜-

a

2

＜0時，即0＜a＜2
ymax=

a2

4

+b  y_min=-1-a+b=-1
解得：a=-2±2

2

由于0＜a＜2
所以a=2

2

-2
④當-

a

2

≥1時，即a≤-2
函數(shù)在定義域內單調遞增
y_max=-1-a+b=1  y_min=-1+a+b=1
解得：a=-1與a≤-2矛盾故舍去
⑤當-

a

2

≤-1時，即a≥2
函數(shù)在定義域內單調遞減
y_max=-1+a+b=1   y_min=-1-a+b=1
解得：a=1與a≥2矛盾故舍去
綜上所述：a=2-2

2

或a=2

2

-2
故答案為：a=2-2

2

或a=2

2

-2

點評：本題考查的知識要點：二次函數(shù)頂點式與一般式的互化，不定對稱軸和定區(qū)間的關系，及相關的分類討論問題和運算問題