Question

(本小題滿分12分) 某工廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品最多不超過40件，并且在生產(chǎn)過程中產(chǎn)品的正品率P與每日生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)x(x∈N^*)間的關系為P＝，每生產(chǎn)一件正品盈利4000元，每出現(xiàn)一件次品虧損2000元.(注：正品率=產(chǎn)品的正品件數(shù)÷產(chǎn)品總件數(shù)×100%).
(Ⅰ)將日利潤y(元)表示成日產(chǎn)量x(件)的函數(shù);
(Ⅱ)求該廠的日產(chǎn)量為多少件時，日利潤最大？并求出日利潤的最大值.

Answer 1

（1）y=-+3600x(x∈N^*，1≤x≤40)（2）該廠的日產(chǎn)量為30件時，日利潤最大，其最大值為7200元

試題分析：解：(1)y＝4000··x-2000(1-)·x……………………………4分
=3600x-
∴所求的函數(shù)關系是y=-+3600x(x∈N^*，1≤x≤40). …………………………4分
(Ⅱ) 由函數(shù)y= （x>0）,y′＝3600-4，令y′＝0，解得x＝30.
∴當1x＜30時，y′＞0；當30＜x40時，y′＜0.
∴函數(shù)y=在［1，30］上是單調(diào)遞增函數(shù)，在[30，40］上是單調(diào)遞減函數(shù). ………………………………………………………………9分
∴當x=30時，函數(shù)y= (1≤x≤40)取最大值，最大值為×30³+3600×30＝7200(元).
∴該廠的日產(chǎn)量為30件時，日利潤最大，其最大值為7200元 ……………………12分
點評：解決這類問題的關鍵是理解利潤函數(shù)與成本和收入的關系式，同時要注意到函數(shù)的自編來那個的實際意義，得到定義域，結(jié)合函數(shù) 性質(zhì)求解最值。屬于中檔題。