Question

已知△ABC，P₀是邊AB上一定點(diǎn)，滿足

P0B

=

1

4

AB

，且對(duì)于AB上任一點(diǎn)P，恒有

PB

•

PC

≥

P0B

•

P0C

．若A=

π

3

，|

AC

|=2，則△ABC的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：以AB所在的直線為x軸，以AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=4t，C（a，b），P（x，0），然后由題意可寫出

P0B

，

PB

，

PC

，

P0C

，然后由

PB

•

PC

≥

P0B

•

P0C

，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得關(guān)于x的二次不等式，結(jié)合二次不等式的知識(shí)可求a，進(jìn)而可判斷三角形的形狀，再由三角形的面積公式計(jì)算即可得到．

解答： 解：以AB所在的直線為x軸，以AB的中垂線為y軸
建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=4t，C（a，b），P（x，0）（-2t＜x＜2t），
則BP₀=t，A（-2t，0），B（2t，0），P₀（t，0）
∴

P0B

=（t，0），

PB

=（2t-x，0），

PC

=（a-x，b），

P0C

=（a-t，b）
∵恒有

PB

•

PC

≥

P0B

•

P0C

，
∴（2t-x）（a-x）≥t（a-t）恒成立
整理可得x²-（a+2t）x+at+t²≥0恒成立
令f（x）=x²-（a+2t）x+at+t²，
當(dāng)

a+2t

2

＜-2t，必有f（-2t）≥0，無(wú)解；
當(dāng)

a+2t

2

＞2，必有f（2t）≥0，無(wú)解；
當(dāng)-2t≤

a+2t

2

≤2t，必有△=（a+2t）²-4（at+t²）≤0
即△=a²≤0，
∴a=0，即C在AB的垂直平分線上，
∴AC=BC，
故△ABC為等腰三角形，
若A=

π

3

，|

AC

|=2，則三角形ABC為等邊三角形，
則面積為S=

3

4

×4=

3

．
故答案為：

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面向量的運(yùn)算，向量的模及向量的數(shù)量積的概念，向量運(yùn)算的幾何意義的應(yīng)用，還考查了利用向量解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題的能力，以及三角形的面積公式的運(yùn)用．