Question

設函數f（x）的解析式滿足．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）當a=1時，試判斷函數f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調性，并加以證明；
（3）當a=1時，記函數，求函數g（x）在區(qū)間上的值域．

Answer 1

解：（1）設x+1=t（t≠0），則x=t-1，
∴
∴
（2）當a=1時，
f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
證明：設0＜x₁＜x₂＜1，則（8分）
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＜0，
∴，∴f（x₁）-f（x₂）＞0?f（x₁）＞f（x₂）
所以，f（x）在（0，1）上單調遞減，
同理可證得f（x）在（1，+∞）上單調遞增
（3）∵，
∴g（x）為偶函數，
所以，∴y=g（x）的圖象關于y軸對稱，
又當時，由（2）知在單調減，[1，2]單調增，
∴
∴當a=1時，函數g（x）在區(qū)間上的值域的為
分析：（1）根據整體思想x+1=t（t≠0），則x=t-1，代入即可得到答案；（2）先把解析式化簡后判斷出單調性，再利用定義法證明：在區(qū)間上取值-作差-變形-判斷符號-下結論，因解析式由分式，故變形時必須用通分．（3）根據題意判斷出函數g（x）的奇偶性，根據（2）中函數的單調性，即可求出函數g（x）在區(qū)間上的值域．
點評：本題考查了有關函數的性質綜合題，用換元法求解析式，用定義法證明函數的奇偶性和單調性，必須遵循證明的步驟，考查了分析問題和解決問題能力．屬中檔題．