Question

19．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且ccosA+acosC=2c，若a=b，則sinB=（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{15}}}{4}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由ccosA+acosC=2c，利用正弦定理可得：sinCcosA+sinAcosC=2sinC，化為sinB=2sinC，可得b=2c，又a=b，a=2c．再利用余弦定理可得cosB，即可得出sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$．

解答 解：∵ccosA+acosC=2c，由正弦定理可得：sinCcosA+sinAcosC=2sinC，∴sin（A+C）=2sinC，∴sinB=2sinC，∴b=2c，
又a=b，∴a=2c．
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{4{c}^{2}+{c}^{2}-4{c}^{2}}{2×2cc}$=$\frac{1}{4}$，
∵B∈（0，π），
則sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
故選：A．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、和差公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．