Question

已知函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)h（x）=

1

x-2

+x-2的圖象關(guān)于點(diǎn)A（1，0）對稱．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）+

a

x

，g（x）在區(qū)間（0，2]上的值不小于6，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)任一點(diǎn)C在f（x）上，求出點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)A（1，0）對稱點(diǎn)B，根據(jù)題意點(diǎn)B在函數(shù)h（x）=

1

x-2

+x-2的圖象上，代入即可求出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）把f（x）代入g（x），要求g（x）在區(qū)間（0，2]上的值不小于6，等價轉(zhuǎn)化為a≥-x²+6x-1在（0，2]上恒成立，從而求出a的范圍；

解答：解：（1）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象上的任意一點(diǎn)C（x，y），
點(diǎn)C（x，y）關(guān)于點(diǎn)A（1，0）對稱的點(diǎn)為B（x₁，y₁），
∴

x+x1

2

=1，

y+y1

2

=0，解得x₁=2-x，y₁=-y，
∵函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)h（x）=

1

x-2

+x-2的圖象關(guān)于點(diǎn)A（1，0）對稱，
∴點(diǎn)B（2-x，-y），在數(shù)h（x）=

1

x-2

+x-2的圖象上，代入得f（x）的解析式：
∴-y=

1

2-x-2

+2-x-2=-

1

x

-2，
∴y=

1

x

+x，∴函數(shù)f（x）的解析式f（x）=y=

1

x

+x
∴f（x）=x+

1

x

（2）由g（x）=f（x）+

a

x

=x+

a+1

x

≥6，
得a≥-x²+6x-1在（0，2]上恒成立，所以
a≥（-x²+6x-1）_max，
∵-x²+6x-1=-（x-3）²+8在（0，2]上的最大值為x=2時取得，
∴（-x²+6x-1）_max=7，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍a≥7；

點(diǎn)評：此題考查了圖形的中心對稱以及函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)一種轉(zhuǎn)化的思想，我要認(rèn)真體會，此題是一道中檔題；