Question

4．設(shè)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-{x}^{2}}，x∈[-1，1）}\\{{x}^{2}-1，x∈[1，2]}\end{array}\right.$，則${∫}_{-1}^{2}$f（x）dx的值為（　�。�

• A． $\frac{π}{2}$+$\frac{4}{3}$
• B． $\frac{π}{2}$+3
• C． $\frac{π}{4}$+$\frac{4}{3}$
• D． $\frac{π}{4}$+3

Answer 1

分析 根據(jù)定積分性質(zhì)可得${∫}_{-1}^{2}$f（x）dx=${∫}_{-1}^{1}（\sqrt{1-{x}^{2}}）dx$+${∫}_{1}^{2}（{x}^{2}-1）dx$，然后根據(jù)定積分可得．

解答 解：根據(jù)定積分性質(zhì)可得${∫}_{-1}^{2}$f（x）dx=${∫}_{-1}^{1}（\sqrt{1-{x}^{2}}）dx$+${∫}_{1}^{2}（{x}^{2}-1）dx$，
根據(jù)定積分的幾何意義，${∫}_{-1}^{1}（\sqrt{1-{x}^{2}}）dx$是以原點為圓心，以1為半徑圓面積的$\frac{1}{2}$，
${∫}_{-1}^{1}（\sqrt{1-{x}^{2}}）dx$=$\frac{π}{2}$，
∴${∫}_{-1}^{2}$f（x）dx=$\frac{π}{2}$+（$\frac{1}{3}{x}^{3}-x$）${丨}_{1}^{2}$，
=$\frac{π}{2}$+$\frac{4}{3}$，
故答案選：A．

點評 本題求一個分段函數(shù)的定積分之值，著重考查了定積分的幾何意義和積分計算公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．