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5.已知二次函數(shù)f(x)=x2-2x+3
(Ⅰ)若函數(shù)y=flog3x+mx[133]的最小值為3,求實(shí)數(shù)m的值;
(Ⅱ)若對(duì)任意互不相同的x1,x2∈(2,4),都有|f(x1)-f(x2)|<k|x1-x2|成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

分析 (Ⅰ)令t=log3x,(-1≤t≤1),則y=(t+m-1)2+2,由題意可得最小值只能在端點(diǎn)處取得,分別求得m的值,加以檢驗(yàn)即可得到所求值;
(Ⅱ)判斷f(x)在(2,4)遞增,設(shè)x1>x2,則f(x1)>f(x2),原不等式即為f(x1)-f(x2)<k(x1-x2),即有f(x1)-kx1<f(x2)-kx2,由題意可得g(x)=f(x)-kx在(2,4)遞減.由g(x)=x2-(2+k)x+3,求得對(duì)稱軸,由二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可得到所求范圍

解答 解(Ⅰ)令t=log3x+m,∵x[133],∴t∈[m-1,m+1],
從而y=f(t)=t2-2t+3=(t-1)2+2,t∈[m-1,m+1]
當(dāng)m+1≤1,即m≤0時(shí),ymin=fm+1=m2+2=3
解得m=-1或m=1(舍去),
當(dāng)m-1<1<m+1,即0<m<2時(shí),ymin=f(1)=2,不合題意,
當(dāng)m-1≥1,即m≥2時(shí),ymin=fm1=m24m+6=3,
解得m=3或m=1(舍去),
綜上得,m=-1或m=3,
(Ⅱ)不妨設(shè)x1<x2,易知f(x)在(2,4)上是增函數(shù),故f(x1)<f(x2),
故|f(x1)-f(x2)|<k|x1-x2|可化為f(x2)-f(x1)<kx2-kx1
即f(x2)-kx2<f(x1)-kx1(*),
令g(x)=f(x)-kx,x∈(2,4),即g(x)=x2-(2+k)x+3,x∈(2,4),
則(*)式可化為g(x2)<g(x1),即g(x)在(2,4)上是減函數(shù),
2+k24,得k≥6,
故k的取值范圍為[6,+∞)

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法,注意運(yùn)用換元法和二次函數(shù)的最值的求法,考查不等式恒成立問(wèn)題的解法,注意運(yùn)用構(gòu)造法,屬于中檔題.

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