Question

設(shè)f（x）=|x-a|，a∈R
（Ⅰ）當(dāng)a=5，解不等式f（x）≤3；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時，若?x∈R，使得不等式f（x-1）+f（2x）≤1-2m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將a=5代入解析式，然后解絕對值不等式，根據(jù)絕對值不等式的解法解之即可；
（Ⅱ）先利用根據(jù)絕對值不等式的解法去絕對值，然后利用圖象研究函數(shù)的最小值，使得1-2m大于等于不等式左側(cè)的最小值即可．

解答：解：（I）a=5時原不等式等價(jià)于|x-5|≤3即-3≤x-5≤3，2≤x≤8，
∴解集為{x|2≤x≤8}；
（II）當(dāng)a=1時，f（x）=|x-1|，
令g(x)=f(x-1)+f(2x)=|x-2|+|2x-1|=

-3x+3(x≤ 1 2 ) x+1( 1 2 ＜x＜2) 3x-3(x≥2)

，
由圖象知：當(dāng)x=

1

2

時，g（x）取得最小值

3

2

，由題意知：

3

2

≤1-2m，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≤-

1

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查了絕對值不等式的解法、存在性問題以及分段函數(shù)求最值，處理的方法是：利用圖象法求函數(shù)的最值，屬于中檔題．