Question

（2013•營(yíng)口二模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，M是底面正方形ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足MP=MB，“△PAD是等邊三角形，則點(diǎn)M在底面ABCD上的軌跡為（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：取PB、CD、AD的中點(diǎn)E、F、N，連結(jié)AE、EF、AF、PN、BN．根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，證出PN⊥底面ABCD，正方形ABCD中證出AF⊥BN，利用三垂線定理證出AF⊥PB．等腰△PAB中，利用“三線合一”證出AE⊥PB，從而證出PB⊥平面AEF，得平面AEF是經(jīng)過(guò)PB中點(diǎn)且與PB垂直的平面．由此結(jié)合題意可得滿足條件的軌跡為平面AEF與底面ABCD的交點(diǎn)，得到本題答案．

解答：解：取PB、CD、AD的中點(diǎn)E、F、N，連結(jié)AE、EF、AF、PN、BN
∵等邊△PAD中，N是AD中點(diǎn)，∴PN⊥AD
∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PN⊥底面ABCD，可得BN是PB在底面ABCD內(nèi)的射影
∵正方形ABCD中，F(xiàn)、N分別為CD、AD的中點(diǎn)
∴Rt△ADF≌△BAN，可得AF⊥BN
由此可得AF⊥PB
又∵△PAB中，PA=AB，E為PB中點(diǎn)，∴AE⊥PB
結(jié)合AE、AF是平面AEF內(nèi)的相交直線，得到PB⊥平面AEF
平面AEF∩底面ABCD=AF，
由于平面AEF是經(jīng)過(guò)PB中點(diǎn)且與PB垂直的平面，可得平面AEF內(nèi)的任意一點(diǎn)到P、B兩點(diǎn)的距離相等
∴滿足題意的點(diǎn)M在平面AEF內(nèi)，可得點(diǎn)M在底面ABCD上的軌跡為線段AF
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊的四棱錐，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡．著重考查了空間面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)、正方形和等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．