Question

14．已知點(diǎn)F是雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)y=2x-4與此雙曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的方程為$\frac{5{x}^{2}}{4}$-$\frac{5{y}^{2}}{16}$=1．

Answer 1

分析 由題意可知，F(xiàn)（2，0），直線(xiàn)y=2x-4與雙曲線(xiàn)的其中一條漸近線(xiàn)平行，根據(jù)斜率之間的關(guān)系，即可求出a，b的值，即可求出答案．

解答 解：由2x-4=0，解得x=2，
∴F（2，0），
∵過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)y=2x-4與此雙曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴此直線(xiàn)與漸近線(xiàn)平行，漸近線(xiàn)方程為y=±$\frac{a}$x，
∴$\frac{a}$=2，
即b=2a，
由a²+b²=c²，
得a²=$\frac{4}{5}$，b²=$\frac{16}{5}$，
∴雙曲線(xiàn)的方程為$\frac{5{x}^{2}}{4}$-$\frac{5{y}^{2}}{16}$=1，
故答案為：$\frac{5{x}^{2}}{4}$-$\frac{5{y}^{2}}{16}$=1

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線(xiàn)方程的計(jì)算，根據(jù)雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的性質(zhì)建立條件關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．