Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N_﹢）．
（1）證明{a_n+1-a_n}是公比為2的等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）將已知的遞推關(guān)系變形，利用等比數(shù)列的定義，證得數(shù)列{a_n+1-a_n}成等比數(shù)列．
（2）利用等比數(shù)列的通項公式求出a_n+1-a_n=2ⁿ，再利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）因為a_n+2=3a_n+1-2a_n；
∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n）知{a_n+1-a_n}是公比為2的等比數(shù)列；
（2）∵a_n+1-a_n=（a₂-a₁）2^n-1=2ⁿ，
故a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…2¹+2⁰
=2ⁿ-1

點評：本題考查證明數(shù)列是等比數(shù)列常用數(shù)列的方法：是定義法與等比中項的方法；注意構(gòu)造新數(shù)列是求數(shù)列的通項的常用的方法．