Question

7．定義在[-1，1]上單調(diào)遞增的函數(shù)f（x）滿足f（1）=2，若$\frac{1}{2}$f（x）≤m²+2am+1對(duì)所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≥2或m≤-2或m=0．

Answer 1

分析 由條件先判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化f（x）_min≤t²-2at-1成立，構(gòu)造函數(shù)g（a）即可得到結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，f（1）=2，
∴f（x）的最小值為f（-1）=-f（1）=-2，最大值為f（1）=2，
若$\frac{1}{2}$f（x）≤m²+2am+1對(duì)所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
即m²+2am+1≥$\frac{1}{2}×2$=1對(duì)所有a∈[-1，1]恒成立，
∴m²+2am≥0對(duì)所有a∈[-1，1]恒成立，
設(shè)g（a）=m²+2am=2ma+m²，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{g（1）={m}^{2}+2m≥0}\\{g（-1）={m}^{2}-2m≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m≥0或m≤-2}\\{m≥2或m≤0}\end{array}\right.$，
∴m≥2或m≤-2或m=0．
故答案為：m≥2或m≤-2或m=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值恒成立，以及轉(zhuǎn)化為以a為變量的函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．