設函數(shù).
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（3）過坐標原點作曲線的切線，證明:切點的橫坐標為.

（1）減區(qū)間為,增區(qū)間，（2），（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，有四個步驟.一是求出定義域：，二是求導數(shù)，三是分析導數(shù)符號變化情況：，四是根據(jù)導數(shù)符號寫出對應單調(diào)區(qū)間：減區(qū)間為,增區(qū)間.（2）已知函數(shù)單調(diào)性研究參數(shù)范圍問題，通常轉(zhuǎn)化為恒成立問題. 因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以對任意恒成立.而恒成立問題又利用變量分離法解決,即對任意恒成立. 因此（3）求切點問題，從設切點出發(fā)，利用切點處導數(shù)等于切線斜率列等量關系：.解這類方程，仍需利用導數(shù)分析其單調(diào)性，利用零點存在定理解決.
試題解析：解: （1）時, ，
 ，                  1分
，
的減區(qū)間為,增區(qū)間.                3分
（2）
在區(qū)間上是減函數(shù)，
對任意恒成立，
即對任意恒成立，                5分
對任意恒成立，
令，
，                                       7分
易知在單調(diào)遞減，.
.                                            8分
（3）設切點為，，
切線的斜率，又切線過原點，
，
存在性：滿足方程，
所以，是方程的根.                  11分
再證唯一性：設，，
在單調(diào)遞增，且，
所以方程有唯一解.
綜上，切點的橫坐標為.                              13分
考點：利用導數(shù)求函數(shù)性質(zhì)

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

一個圓柱形圓木的底面半徑為1m，長為10m，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個部分．現(xiàn)要把其中一個部分加工成直四棱柱木梁，長度保持不變，底面為等腰梯形（如圖所示，其中O為圓心，在半圓上），設，木梁的體積為V（單位：m3），表面積為S（單位：m2）．

（1）求V關于θ的函數(shù)表達式；
（2）求的值，使體積V最大；
（3）問當木梁的體積V最大時，其表面積S是否也最大？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設函數(shù)，
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；   
（3）若關于的方程在區(qū)間上恰好有兩個相異的實根，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)為奇函數(shù)，其圖象在點(1，f(1))處的切線與直線x－6y－7＝0垂直，導函數(shù)f′(x)的最小值為－12.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間，并求函數(shù)f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

一個圓柱形圓木的底面半徑為1m，長為10m，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個部分．現(xiàn)要把其中一個部分加工成直四棱柱木梁，長度保持不變，底面為等腰梯形（如圖所示，其中O為圓心，在半圓上），設，木梁的體積為V（單位：m3），表面積為S（單位：m2）．

（1）求V關于θ的函數(shù)表達式；
（2）求的值，使體積V最大；
（3）問當木梁的體積V最大時，其表面積S是否也最大？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)
(1)求曲線y=f(x)在(2，f(2))處的切線方程；
(2)若g(x)=f(x)一有兩個不同的極值點．其極小值為M，試比較2M與一3的大小，并說明理由；
(3)設q>p>2，求證：當x∈(p，q)時，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設函數(shù).
（1）若函數(shù)在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個零點，求a的取值范圍；
（2）當a=1時，求函數(shù)在區(qū)間[t，t+3]上的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設函數(shù)，，.
（1）若，求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若曲線與軸相切于異于原點的一點，且的極小值為，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝ax＋x2－xlna(a>0，a≠1)．
(1)當a>1時，求證：函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
(2)若函數(shù)y＝|f(x)－t|－1有三個零點，求t的值；
(3)若存在x1、x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，試求a的取值范圍．

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