Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，對實數(shù)分和兩種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上符號的變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）證法一：構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析得知函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，由可得出；

證法二：分和時，在時，由函數(shù)在上的單調(diào)性可得出，在時，由（1）中的結(jié)論，結(jié)合可證明出，綜合得出結(jié)論.

（1）函數(shù)的定義域為，，

若時，則，此時在單調(diào)遞減，

若時，則由得，

當(dāng)時，，函數(shù)在單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，函數(shù)在單調(diào)遞增，

綜上所述，當(dāng)時，在單調(diào)遞減；若時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

（2）證法一：設(shè)，

，

，

所以在上為減函數(shù)，又，所以，

即，即；

證法二：由（1）得，當(dāng)時，在單調(diào)遞減，

因，所以，

當(dāng)時，在單調(diào)遞減.

因為，所以，

又因為，所以，所以.

綜上所述，.