Question

16．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)作一條漸近線的垂線，垂足為P，記以雙曲線的實(shí)軸為長軸且過點(diǎn)P的橢圓的離心率為e₁，雙曲線的離心率為e₂，則$\frac{1}{{e}_{1}^{2}}$-$\frac{1}{{e}_{2}^{2}}$=（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 利用特殊值法進(jìn)行求解．不妨設(shè)雙曲線為x²-y²=1，根據(jù)直線和漸近線的垂直關(guān)系，求出P的坐標(biāo)，建立方程關(guān)系求出b，根據(jù)離心率的定義進(jìn)行求解即可．

解答 解：不妨設(shè)雙曲線為x²-y²=1，則A（1，0），則橢圓方程為x²+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
則雙曲線的漸近線為y=±x，過A的直線與y=x垂直的直線方程為y=-（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-（x-1）}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
點(diǎn)P在x²+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上，∴$（\frac{1}{2}）^{2}+\frac{\frac{1}{4}}{^{2}}=1$得b²=$\frac{1}{3}$，則橢圓方程為x²+$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{3}}$=1，
則橢圓的離心率e₁=$\frac{\sqrt{1-\frac{1}{3}}}{1}=\sqrt{\frac{2}{3}}$，雙曲線的離心率e₂=$\sqrt{2}$，
則$\frac{1}{{e}_{1}^{2}}$-$\frac{1}{{e}_{2}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{2}{3}}-\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線和橢圓的離心率的計(jì)算，根據(jù)條件求出交點(diǎn)坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．本題由于運(yùn)算量比較，在求解的過程中使用的特殊值進(jìn)行求解．