Question

如圖，在底面是菱形的四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝，點(diǎn)E在PD上，且PE∶ED＝2∶1．

(Ⅰ)證明PA⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的大小；

(Ⅲ)在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使BF∥平面AEC？證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)證明：因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，∠ABC＝60°， 　　所以AB＝AD＝AC＝a，在△PAB中，由PA2＋AB2＝2a2＝PB2所以PA⊥AB． 　　同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD．　4分 　　(Ⅱ)解：作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，連結(jié)EH，則EH⊥AC，∠EHG即為二面角的平面角． 　　又PE∶ED＝2∶1，所以 　　 　　從而　8分 　　(Ⅲ)當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，BF∥平面AEC，證明如下： 　　取PE的中點(diǎn)M，連結(jié)FM，則FM∥CE．�、� 　　由知E是MD的中點(diǎn)． 　　連結(jié)BM、BD，設(shè)BDAC＝O，則O為BD的中點(diǎn)． 　　所以BM∥OE．�、� 　　由①、②知，平面BFM∥平面AEC． 　　又BF平面BFM，所以BF∥平面AEC　12分