Question

設(shè)橢圓的方程為＝1（m，n>0），過(guò)原點(diǎn)且傾角為θ和π－θ（0＜θ＜＝的兩條直線分別交橢圓于A、C和B、D兩點(diǎn)，

（Ⅰ）用θ、m、n表示四邊形ABCD的面積S；

（Ⅱ）若m、n為定值，當(dāng)θ在（0，］上變化時(shí)，求S的最小值u；

（Ⅲ）如果μ>mn，求的取值范圍.

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）設(shè)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且傾角為θ的直線方程為y=xtanθ，可得方程組又由對(duì)稱性，得四邊形ABCD為矩形，同時(shí)0＜θ＜，所以四邊形ABCD的面積S＝4|xy|＝． （Ⅱ）S＝． （1）當(dāng)m>n，即＜1時(shí)，因?yàn)?img align="middle"" width=41 height=47 src="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/6060/0094/0047/cef62fd82c910a6ac2ffe6eb38e9df4d/C/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1042">＋m2tanθ≥2nm，當(dāng)且僅當(dāng)tan2θ＝時(shí)等號(hào)成立，所以． 由于0＜θ≤，0＜tanθ≤1， 故tanθ＝得u＝2mn． （2）當(dāng)m<n，即>1時(shí)，對(duì)于任意0＜θ1＜θ2≤， 由于 ． 因?yàn)?＜tanθ1＜tanθ2≤1，m2tanθ1tanθ2－n2＜m2－n2＜0，所以（m2tanθ2＋）－（m2tanθ1＋）＜0，于是在（0，］上，S＝是θ的增函數(shù)，故取θ＝，即tanθ＝1得u＝． 所以u＝ （Ⅲ）（1）當(dāng)>1時(shí)，u=2mn>mn恒成立. （2）當(dāng)<1時(shí)， >1，即有（）2－4（）+1<0， 所以，又由<1， 得. 綜上，當(dāng)u>mn時(shí)，的取值范圍為（2－，1）∪（1，＋∞）．