(2012•藍山縣模擬)如圖,在體積為1的三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,AB⊥AC,AC=AA1=1,P為線段AB上的動點.
(1)求證:CA1⊥C1P;
(2)當AP為何值時,二面角C1-PB1-A1的大小為
π6
分析:(1)先以A為原點,AC,AB,AA1所在的直線分別為x軸,y軸,z軸建立直角坐標系,求出各點的坐標以及對應向量的坐標,進而得到
CA1
C1P
=0即可得到結(jié)論;
(2)分別求出兩個半平面的法向量,再代入向量的夾角計算公式即可得到結(jié)論.
解答:解:(1)證明:∵AA1⊥底面ABC,∴AA1⊥AC,AA1⊥AB.
又∵AB⊥AC,
∴以A為原點,AC,AB,AA1所在的直線分別為x軸,y軸,z軸建立直角坐標系.
又∵V ABC-A 1B 1C 1 =
1
2
AB×AC×AA1=1,∴AB=2.(2分)
設(shè)AP=m,則P(0,m,0),而C1(1,0,1),C(1,0,0),A1(0,0,1),B1(0,2,1)
CA1
=(-1,0,1),
C1P
=(-1,m,-1),
B1C1
=(-1,2,0)
CA1
C1P
=(-1)×(-1)+0×m+1×(-1)=0,
∴CA1⊥C1P.(6分)
(2)設(shè)平面C1PB1的一個法向量
n
=(x,y,z),
n
B1C1
=0 
n
C1P
=0
-x+2y=0
-x+my-z=0

令y=1,則
n
=(2,1,m-2),(9分)
而平面A1B1P的一個法向量
AC
=(1,0,0),
依題意可知cos
π
6
=
|n•
AC
|
|n||
AC
|
=
3
2
,
∴m=2+
3
3
(舍去)或m=2-
3
3

∴當AP=2-
3
3
時,二面角C1-PB1-A1的大小為
π
6
.(12分)
點評:本題主要考查用空間向量求平面間的夾角以及用向量語言表述線線的垂直、平行關(guān)系.是對向量知識在立體幾何中應用的綜合考察.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•藍山縣模擬)已知m是一個給定的正整數(shù),如果兩個整數(shù)a,b被m除得的余數(shù)相同,則稱a與b對模m同余,記作a≡b(modm),例如:5≡13(mod4).若22010≡r(mod7),則r可以為(  )

查看答案和解析>>

同步練習冊答案