如圖,已知曲線C:y=x2(0≤x≤1),O(0,0),Q(1,0),R(1,1).取線段OQ的中點(diǎn)A1,過A1作x軸的垂線交曲線C于P1,過P1作y軸的垂線交RQ于B1,記a1為矩形A1P1B1Q的面積.分別取線段OA1,P1B1的中點(diǎn)A2,A3,過A2,A3分別作x軸的垂線交曲線C于P2,P3,過P2,P3分別作y軸的垂線交A1P1,RB1于B2,B3,記a2為兩個(gè)矩形A2P2B2 A1與矩形A3P3B3B1的面積之和.以此類推,記an為2n-1個(gè)矩形面積之和,從而得數(shù)列{an},設(shè)這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn.
(I)求a2與an;
(Ⅱ)求Sn,并證明Sn<.
(I) ,;(Ⅱ)見解析.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)根據(jù)題意先寫出各點(diǎn)坐標(biāo),再分別求,然后總結(jié)與曲線交點(diǎn)坐標(biāo),從而再求;(Ⅱ)由(Ⅰ)知的表達(dá)式,先把變形為差的形式,再求表達(dá)式,利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求,然后把與進(jìn)行比較,即得證.
試題解析:(I) 由題意知P1(,),故a1=×=.
又P2(,),P3(,),
故a2=×[+-]=×(12+32-22)=.
由題意,對(duì)任意的k=1,2,3,,n,有
(,),i=0,1,2,,2k-1-1,
故an=×[+-+-++-]
=×[12+32-22+52-42+…+(2n-1)2-(2n-2)2]
=×{1+(4×1+1)+(4×2+1)+…+[4×(2n-1-1)+1]}
=×
=.
所以a2=,an=,n∈N*. 10分
(Ⅱ)由(I)知an=,n∈N*,
故Sn=-=-=.
又對(duì)任意的n∈N*,有>0,
所以Sn=<. 14分
考點(diǎn):1、遞推公式;2、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
1 |
x |
1 |
x+2-n |
n |
i=1 |
1 |
6 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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