Question

【題目】設(shè)是數(shù)列1，，，…，的各項和，，.

（1）設(shè)，證明：在內(nèi)有且只有一個零點；

（2）當(dāng)時，設(shè)存在一個與上述數(shù)列的首項、項數(shù)、末項都相同的等差數(shù)列，其各項和為，比較與的大小，并說明理由；

（3）給出由公式推導(dǎo)出公式的一種方法如下：在公式中兩邊求導(dǎo)得：，所以成立，請類比該方法，利用上述數(shù)列的末項的二項展開式證明：時（其中表示組合數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），理由見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）依題意可得，求出導(dǎo)函數(shù)說明其單調(diào)性，再由等比數(shù)列前項和得，又；

（2）由題意，，設(shè)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得證；

（3）

由二項展開式得，

兩邊求導(dǎo)：，

再令，代入可證；

解：（1），

，

由于，故，

因此，在單調(diào)遞增，

又，

，

所以在內(nèi)有且只有一個零點.

（2）由題意，.

設(shè).

當(dāng)時，，，

當(dāng)時，，

此時

，

所以單調(diào)遞增，，，

當(dāng)時，，

，

所以單調(diào)遞減，，.

綜上，時，；

且時，.

（3）數(shù)列的末項為，

由二項展開式得，

兩邊求導(dǎo)：，

取，得，

兩邊乘以，得，

即.