Question

（本小題12分）某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過(guò)短期培訓(xùn)（稱為A類(lèi)工人），另外750名工人參加過(guò)長(zhǎng)期培訓(xùn)（稱為B類(lèi)工人）.現(xiàn)用分層抽樣方法（按A類(lèi)，B類(lèi)分二層）從該工廠的工人中共抽查100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）.從A類(lèi)工人中抽查結(jié)果和從B類(lèi)工人中的抽查結(jié)果分別如下表1和表2
表1：

生產(chǎn)能力分組
人數(shù)	4	8		5	3

表2：

生產(chǎn)能力分組
人數(shù)	6	y	36	18

（1）先確定，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖。就生產(chǎn)能力而言，A類(lèi)工人中個(gè)體間的差異程度與B類(lèi)工人中個(gè)體間的差異程度哪個(gè)更��？（不用計(jì)算，可通過(guò)觀察直方圖直接回答結(jié)論）(注意:本題請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上作圖)

（2）分別估計(jì)類(lèi)工人和類(lèi)工人生產(chǎn)能力的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)。（精確到0.1）

Answer 1

解：（1）； 。頻率分布直方圖如下：
 
從直方圖可以判斷：類(lèi)工人中個(gè)體間的差異程度更小。
(2)A類(lèi)工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)、B類(lèi)工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)的估計(jì)值分別為123，133.8。

試題分析：（1）根據(jù)隨機(jī)抽樣中各個(gè)個(gè)體被抽到的可能性均相等，可以得出甲、乙兩工人分別被抽到的概率，再根據(jù)獨(dú)立事件概率的計(jì)算公式求得結(jié)果；
（2）①利用分層抽樣的思想確定出A類(lèi)工人和B類(lèi)工人分別被抽查到的人數(shù)，然后根據(jù)統(tǒng)計(jì)表格利用方程確定出x，y的值，完成頻率分布直方圖，通過(guò)頻率分布直方圖判斷出A類(lèi)工人中個(gè)體間的差異程度與B類(lèi)工人中個(gè)體間的差異程度哪個(gè)更��；
②利用頻率分布直方圖各組小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)橫坐標(biāo)作為該組的生產(chǎn)能力估計(jì)值，各組的頻率值作為近似的概率值利用均值的計(jì)算公式估算出他們的生產(chǎn)能力平均數(shù)．
解：（1）類(lèi)工人中和類(lèi)工人中分別抽查25名和75名。由，得； ，得。
頻率分布直方圖如下：
 
從直方圖可以判斷：類(lèi)工人中個(gè)體間的差異程度更小。
(2)A類(lèi)工人生產(chǎn)能力的眾數(shù)、 B類(lèi)工人生產(chǎn)能力的眾數(shù)的估計(jì)值為115，135；
A類(lèi)工人生產(chǎn)能力的中位數(shù)、B類(lèi)工人生產(chǎn)能力的中位數(shù)的估計(jì)值為121，134.6

，
A類(lèi)工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)、B類(lèi)工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)的估計(jì)值分別為123，133.8。
點(diǎn)評(píng)：易錯(cuò)點(diǎn)就是對(duì)于均值的求解不知道如何結(jié)合圖像來(lái)求解。解決該試題的關(guān)鍵是理解分層抽樣法以及頻率分布直方圖和數(shù)據(jù)的平均值的的求解公式。