【題目】已知點、為雙曲線的左、右焦點,過作垂直于軸的直線,在軸上方交雙曲線于點,且,圓的方程是.

1)求雙曲線的方程;

2)過雙曲線上任意一點作該雙曲線兩條漸近線的垂線,垂足分別為、,求的值;

3)過圓上任意一點作圓的切線交雙曲線兩點,中點為,求證:

【答案】1;(2;(3)詳見解析.

【解析】

(1),根據(jù)可得,利用雙曲線的定義可得從而得到雙曲線的方程.

(2)設(shè)點,利用漸近線的斜率可以得到夾角的余弦為,利用點在雙曲線上又可得為定值,故可得的值.

(3)設(shè)切線的方程為:,證明等價于證明,也就是證明 ,聯(lián)立切線方程和雙曲線方程,消元后利用韋達定理可以證明.

(1)設(shè)的坐標分別為,

因為點在雙曲線上,所以,即,所以,

中, ,,所以

由雙曲線的定義可知: ,

故雙曲線的方程為: .

(2)由條件可知:兩條漸近線分別為.

設(shè)雙曲線上的點,

設(shè)的傾斜角為,則,又 ,所以,

,

所以的夾角為,且.

到兩條漸近線的距離分別為,.

因為在雙曲線上,所以 ,

所以.

(3)由題意,即證: ,設(shè),

切線的方程為: .

時,切線的方程代入雙曲線中,化簡得:

(,

所以.

,

所以.

時,易知上述結(jié)論也成立.所以.

綜上, ,所以.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,正方形所在平面與正所在平面垂直,分別為的中點,在棱上.

(1)證明:平面

(2)已知,點的距離為,求三棱錐的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)()的導(dǎo)函數(shù)為.

(Ⅰ)當時,求的最小值;

(Ⅱ)若函數(shù)存在極值,試比較,,的大小,并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,三棱錐PABC中,PC⊥平面ABCPCAC=2,ABBCDPB上一點,且CD⊥平面PAB

(1)求證:AB⊥平面PCB

(2)求二面角CPAB的大小的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】1)已知雙曲線的中心在原點,焦點在x軸上,實軸長為4,漸近線方程為.求雙曲線的標準方程;

2)過(1)中雙曲線上一點P的直線分別交兩條漸近于兩點,且P是線段AB的中點,求證:為常數(shù);

3)我們知道函數(shù)的圖象是由雙曲線的圖象逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到的,函數(shù)的圖象也是雙曲線,請嘗試寫出曲線的性質(zhì)(不必證明).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】采用系統(tǒng)抽樣方法從1000人中抽取50人做問卷調(diào)查,為此將他們隨機編號1,, ,1000,適當分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為8,抽到的50人中,編號落入?yún)^(qū)間的人做問卷A,編號落入?yún)^(qū)間的人做問卷B,其余的人做問卷C,則抽到的人中,做問卷C的人數(shù)為( )

A. 12 B. 13 C. 14 D. 15

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在股票市場上,投資者常根據(jù)股價每股的價格走勢圖來操作,股民老張在研究某只股票時,發(fā)現(xiàn)其在平面直角坐標系內(nèi)的走勢圖有如下特點:每日股價與時間的關(guān)系在ABC段可近似地用函數(shù)的圖象從最高點A到最低點C的一段來描述如圖,并且從C點到今天的D點在底部橫盤整理,今天也出現(xiàn)了明顯的底部結(jié)束信號.老張預(yù)測這只股票未來一段時間的走勢圖會如圖中虛線DEF段所示,且DEF段與ABC段關(guān)于直線l對稱,點B,D的坐標分別是

請你幫老張確定a,的值,并寫出ABC段的函數(shù)解析式;

如果老張預(yù)測準確,且今天買入該只股票,那么買入多少天后股價至少是買入價的兩倍?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某小組有7個同學(xué),其中4個同學(xué)從來沒有參加過天文研究性學(xué)習(xí)活動,3個同學(xué)曾經(jīng)參加過天文研究性學(xué)習(xí)活動.

1)現(xiàn)從該小組中隨機選2個同學(xué)參加天文研究性學(xué)習(xí)活動,求恰好選到1個曾經(jīng)參加過天文研究性學(xué)習(xí)活動的同學(xué)的概率;

2)若從該小組隨機選2個同學(xué)參加天文研究性學(xué)習(xí)活動,則活動結(jié)束后,該小組有參加過天文研究性學(xué)習(xí)活動的同學(xué)個數(shù)是一個隨機變量,求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下面幾種推理是類比推理的( )

A. 兩條直線平行,同旁內(nèi)角互補,如果是兩條平行直線的同旁內(nèi)角,則

B. 由平面三角形的性質(zhì),推測空間四邊形的性質(zhì)

C. 某校高二級有20個班,1班有51位團員,2班有53位團員,3班有52位團員,由此可以推測各班都超過50位團員.

D. 一切偶數(shù)都能被2整除,是偶數(shù),所以能被2整除.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案