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7.已知定義在[0,1]上的函數(shù)y=f(x),f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),f(x)圖象如圖,對(duì)滿足0<x1<x2<1的任意x1,x2,給出下列結(jié)論:
①f(x1)-f(x2)>x1-x2
②x2f(x1)>x1f(x2);
fx1+fx22<f(x1+x22);
④[f′(x1)-f′(x2)]•(x1-x2)>0.
則下列結(jié)論中正確的是②③.

分析 根據(jù)題意可作出函數(shù)y=f(x)的圖象,利用直線的斜率的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合的思想研究函數(shù)的單調(diào)性與最值即可得到答案.

解答 解:由函數(shù)y=f(x)的圖象可得,
對(duì)于④當(dāng)0<x1<x2<1時(shí),0<f(x1)<f(x2)<1,
[f(x2)-f(x1)]•(x2-x1)>0,故④錯(cuò)誤;
函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,1]上的圖象如圖:
對(duì)于①設(shè)曲線y=f(x)上兩點(diǎn)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),
直線AB的斜率kAB=fx2fx1x2x1<kop=1,
∴f(x2)-f(x1)<x2-x1,故①錯(cuò)誤;
對(duì)于③,由圖可知,koA>koB,即fx1x1fx2x2,0<x1<x2<1,于是有x2f(x1)>x1f(x2),故②正確;
對(duì)于④,設(shè)AB的中點(diǎn)為R,則R(x1+x22,fx1+fx22),^AB的中點(diǎn)為S,則S(x1+x22,f(x1+x22),
顯然有fx1+fx22<f(x1+x22),即③正確.
對(duì)于④當(dāng)0<x1<x2<1時(shí),0<f(x1)<f(x2)<1,[f(x2)-f(x1)]•(x2-x1)>0,故④錯(cuò)誤;
綜上所述,正確的結(jié)論的序號(hào)是②③.
故答案為:②③.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的圖象,著重考查直線的斜率的幾何意義,考察函數(shù)的單調(diào)性,突出考查作圖象的能力與數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.

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