Question

7．已知定義在[0，1]上的函數(shù)y=f（x），f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f（x）圖象如圖，對(duì)滿足0＜x₁＜x₂＜1的任意x₁，x₂，給出下列結(jié)論：
①f（x₁）-f（x₂）＞x₁-x₂；
②x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）；
③$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＜f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）；
④[f′（x₁）-f′（x₂）]•（x₁-x₂）＞0．
則下列結(jié)論中正確的是②③．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可作出函數(shù)y=f（x）的圖象，利用直線的斜率的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的思想研究函數(shù)的單調(diào)性與最值即可得到答案．

解答 解：由函數(shù)y=f（x）的圖象可得，
對(duì)于④當(dāng)0＜x₁＜x₂＜1時(shí)，0＜f（x₁）＜f（x₂）＜1，
[f（x₂）-f（x₁）]•（x₂-x₁）＞0，故④錯(cuò)誤；
函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，1]上的圖象如圖：
對(duì)于①設(shè)曲線y=f（x）上兩點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），
直線AB的斜率k_AB=$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜k_op=1，
∴f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于③，由圖可知，k_oA＞k_oB，即$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$＞$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$，0＜x₁＜x₂＜1，于是有x₂f（x₁）＞x₁f（x₂），故②正確；
對(duì)于④，設(shè)AB的中點(diǎn)為R，則R（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$），$\widehat{AB}$的中點(diǎn)為S，則S（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），
顯然有$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＜f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），即③正確．
對(duì)于④當(dāng)0＜x₁＜x₂＜1時(shí)，0＜f（x₁）＜f（x₂）＜1，[f（x₂）-f（x₁）]•（x₂-x₁）＞0，故④錯(cuò)誤；
綜上所述，正確的結(jié)論的序號(hào)是②③．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的圖象，著重考查直線的斜率的幾何意義，考察函數(shù)的單調(diào)性，突出考查作圖象的能力與數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．