Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，A為銳角，已知向量

p

=(1，

3

cos

A

2

)，

q

=(2sin

A

2

，1-cos2A)，且

p

∥

q

．
（1）若a²-c²=b²-mbc，求實(shí)數(shù)m的值．
（2）若a=

3

，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由向量平行時(shí)，向量的坐標(biāo)對應(yīng)成比例得到一個(gè)關(guān)系式，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，由sinA不為0，得到sinA的值，又A為銳角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosA的值，利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入即可表示出cosA，由cosA的值列出關(guān)于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；
（2）由（1）中求出的sinA和cosA的值，根據(jù)

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，解出bc，利用基本不等式求出bc的最大值，然后利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把bc的最大值及sinA的值代入即可求出三角形ABC面積的最大值．

解答：解：（1）由

p

∥

q

得：1-2cos2A=2

3

sin

A

2

cos

A

2

，即1-cos2A=

3

sinA，
所以2sin2A=

3

sinA，
又A為銳角，∴sinA=

3

2

，cosA=

1

2

，（3分）
而a²-c²=b²-mbc可以變形為

b2+c2-a2

2bc

=

m

2

即cosA=

m

2

=

1

2

，所以m=1；（6分）
（2）由（1）知：cosA=

1

2

，sinA=

3

2

，
又

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
所以bc=b²+c²-a²≥2bc-a²即bc≤a²，（9分）
故S△ABC=

1

2

bcsinA≤

1

2

a2

3

2

=

3 3

4

，
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=

3

時(shí)，△ABC面積的最大值是

3 3

4

．（12分）

點(diǎn)評：此題考查了三角函數(shù)的恒等變換，余弦定理及三角形的面積公式，要求學(xué)生掌握平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，二倍角正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及基本不等式．靈活利用基本不等式求出bc的最大值是第二問求三角形面積最大的關(guān)鍵．