Question

5．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=2，前n項(xiàng)和為S_n，且a_n+1=2S_n+2n+2（n∈N^*），則S_n=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1）-n．

Answer 1

分析 當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n+1=2S_n+2n+2可推出a_n+1+1=3（a_n+1），從而可得數(shù)列{a_n+1}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，從而求a_n=3ⁿ-1；從而利用拆項(xiàng)求和法求和．

解答 解：當(dāng)n≥2時(shí)，
a_n+1=2S_n+2n+2，a_n=2S_n-1+2n，
兩式作差可得，
a_n+1-a_n=2a_n+2，
即a_n+1+1=3（a_n+1），
又∵a₁+1=3，a₂+1=9，
∴數(shù)列{a_n+1}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
故a_n+1=3ⁿ，a_n=3ⁿ-1；
故S_n=3-1+（9-1）+（27-1）+…+（3ⁿ-1）
=3+9+27+…+3ⁿ-n
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1）-n．
故答案為：$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1）-n．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了構(gòu)造法的應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用．