Question

8．已知f（x）=$\frac{mx}{{x}^{2}+n}$（x∈R），若方程f（x）-$\frac{3}{25}x$-$\frac{12}{25}$=0有兩個根1和4．
（1）求m、n的值及f（x）的值域；
（2）若F（x）=k•f（x）+6，對于任意實(shí)數(shù)a、b、c，都存在一個以F（a）、F（b）、F（c）的三角形，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程的根為1，4計算f（1），f（4）列方程解出m，n，即可得出f（x）的解析式；根據(jù)f（x）的奇函數(shù)性質(zhì)求出值域；
（2）根據(jù)f（x）的值域得出F（x）的值域，由題意可知2F_min（x）＞F_max（x），且F_min（x）＞0．列方程組求出k的范圍．

解答 解：（1）∵方程f（x）-$\frac{3}{25}x$-$\frac{12}{25}$=0有兩個根1和4，
∴f（1）=$\frac{3}{5}$，f（4）=$\frac{24}{25}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m}{1+n}=\frac{3}{5}}\\{\frac{4m}{16+n}=\frac{24}{25}}\end{array}\right.$，解得m=6，n=9．
∴f（x）=$\frac{6x}{{x}^{2}+9}$．
當(dāng)x=0時，f（x）=0，
當(dāng)x＞0時，f（x）=$\frac{6x}{{x}^{2}+9}$=$\frac{6}{x+\frac{9}{x}}$≤$\frac{6}{2\sqrt{x•\frac{9}{x}}}$=1，且f（x）＞0，
∴0＜f（x）≤1．
∵f（-x）=$\frac{-6x}{{x}^{2}+9}$=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)．
∴f（x）的值域?yàn)閇-1，1]．
（2）∵F（x）=kf（x）+6，f（x）的值域?yàn)閇-1，1]，
∴F（x）的值域?yàn)閇-|k|+6，|k|+6]，
∵對于任意實(shí)數(shù)a、b、c，都存在一個以F（a）、F（b）、F（c）的三角形，
∴2F_min（x）＞F_max（x），且F_min（x）＞0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{12-2|k|＞6+|k|}\\{6-|k|＞0}\end{array}\right.$，解得0≤|k|＜2
∴-2＜k＜2．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的解析式，值域的求法，不等式的解法，屬于中檔題．