Question

已知圓C：（x-m）²+y²=5（m＜3）過點A（3，1），且過點P（4，4）的直線PF與圓C相切并和x軸的負半軸相交于點F．
（1）求切線PF的方程；
（2）若拋物線E的焦點為F，頂點在原點，求拋物線E的方程．
（3）若Q為拋物線E上的一個動點，求

AP

•

AQ

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先將點A代入圓C方程，求得m的值，得到圓C的方程，再設直線PF的斜率為k，利用直線PF與圓C相切的幾何性質求得k值，從而得到切線PF的方程；
（2）設拋物線標準方程為y²=-2px由焦點坐標求得p=8從而寫出拋物線標準方程即可；
（3）設Q（x，y），分別求得向量的坐標，再利用向量的數(shù)量積得到

AP

•

AQ

關于y的二次函數(shù)式，最后利用二次函數(shù)的性質即可求

AP

•

AQ

的取值范圍．

解答：解：（1）點A代入圓C方程，得（3-m）²+1=5．∵m＜3，∴m=1．
圓C：（x-1）²+y²=5．設直線PF的斜率為k，則PF：y=k（x-4）+4，
即kx-y-4k+4=0．∵直線PF與圓C相切，∴

|k-0-4k+4|

k2+1

=

5

．解得k=

11

2

，或k=

1

2

．
 當k=

11

2

時，直線PF與x軸的交點橫坐標為

36

11

，不合題意，舍去．
當k=

1

2

時，直線PF與x軸的交點橫坐標為-4，∴符合題意，∴直線PF的方程為y=

1

2

x+2…（6分）
（2）設拋物線標準方程為y²=-2px，∵F（-4，0），∴p=8，∴拋物線標準方程為y²=-16x…（8分）
（3）

AP

=(1， 3)，設Q（x，y），

AQ

=(x-3， y-1)，

AP

•

AQ

=(x-3)+3(y-1)=x+3y-6．
∵y²=-16x，∴

AP

•

AQ

=x+3y-6=-

1

16

y2+3y-6=-

1

16

(y-24)2+30．
∴

AP

•

AQ

=x+3y-6的取值范圍是（-∞，30]．…（13分）

點評：本小題主要考查直線的點斜式方程、拋物線的標準方程、拋物線的簡單性質、平面向量數(shù)量積的運算等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．