Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ax2﹣（a﹣1）x﹣lnx（a∈R且a≠0）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）記函數(shù)y=F（x）的圖象為曲線(xiàn)C．設(shè)點(diǎn)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是曲線(xiàn)C上的不同兩點(diǎn)．如果在曲線(xiàn)C上存在點(diǎn)M（x0 ， y0），使得：①x0= ；②曲線(xiàn)C在點(diǎn)M處的切線(xiàn)平行于直線(xiàn)AB，則稱(chēng)函數(shù)F（x）存在“中值和諧切線(xiàn)”．當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）是否存在“中值和諧切線(xiàn)”，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），

由已知得，f′（x）= ，

（i）當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得x＞1； 令f′（x）＜0，解得0＜x＜1．

所以函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；

（ii）當(dāng)a＜0時(shí)，

①當(dāng)﹣ ＜1時(shí)，即a＜﹣1時(shí)，令f′（x）＞0，解得：﹣ ＜x＜1；

∴函數(shù)f（x）在（﹣ ，1）上單調(diào)遞增；

②當(dāng)﹣ =1時(shí)，即a=﹣1時(shí)，顯然，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，無(wú)增區(qū)間；

③當(dāng)﹣ ＞1時(shí)，即﹣1＜a＜0時(shí)，令f′（x）＞0，解得1＜x＜﹣

∴函數(shù)f（x）在（1，﹣ ）上單調(diào)遞增；

綜上所述，（i）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；

（ii）當(dāng)a＜﹣1時(shí)，函數(shù)f（x）在（﹣ ，1）上單調(diào)遞增；

（iii）當(dāng)a=﹣1時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；

（iv）當(dāng)﹣1＜a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，﹣ ）上單調(diào)遞增；

（2）假設(shè)函數(shù)f（x）存在“中值相依切線(xiàn)”．

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是曲線(xiàn)y=f（x）上的不同兩點(diǎn)，且0＜x1＜x2，

則y1= ﹣x1﹣lnx1，y2= ﹣x2﹣lnx2．

kAB= =x2+x1﹣1﹣ ，

曲線(xiàn)在點(diǎn)M（x0，y0）處的切線(xiàn)斜率：

k=f′（x0）=f′（ ）=x1+x2﹣1﹣ ，

x2+x1﹣1﹣ =x1+x2﹣1﹣ ，

∴ = ，即ln ﹣ =0，

令t= ＞1

設(shè)h（t）=lnt﹣ ，則h′（t）= ＞0，

∴h（t）在（0，+∞）遞增，

∴h（t）＞h（1）=0，

故h（t）=0在（0，+∞）無(wú)解，假設(shè)不成立，

綜上所述，假設(shè)不成立，

所以，函數(shù)f（x）不存在“中值相依切線(xiàn)”

【解析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義求得函數(shù)的定義域，再根據(jù)f（x）的解析式求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，然后分別令導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0得到關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相應(yīng)的x的范圍即分別為函數(shù)的遞增和遞減區(qū)間；（2）假設(shè)函數(shù)f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），使得AB存在“中值相依切線(xiàn)”，根據(jù)斜率公式求出直線(xiàn)AB的斜率，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線(xiàn)AB的斜率，它們相等，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可證明結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．