Question

8．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BA⊥CA，∠ACB=60°，AC=1，AA₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，點(diǎn)D，D₁分別是BC，B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求證：DC₁∥平面ABD₁；
（2）求二面角D₁-AB-D的大�。�

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出四邊形BDC₁D₁為平行四邊形，從而DC₁∥BD₁．由此能證明DC₁∥平面ABD₁．
（2）過D作DE⊥AB，垂足為E，連接D₁E，DD₁．推導(dǎo)出D₁D⊥AB．D₁E⊥AB，從而∠D₁ED是二面角D₁-AB-D的平面角．由此能求出二面角D₁-AB-D的大�。�

解答 證明：（1）∵BC∥B₁C₁，BC=B₁C₁，D，D₁分別是BC，B₁C₁的中點(diǎn)，
∴BD∥C₁D₁，BD=C₁D₁，∴四邊形BDC₁D₁為平行四邊形，
∴DC₁∥BD₁．
又DC₁?平面ABD₁，BD₁?平面ABD₁，
∴DC₁∥平面ABD₁．
解：（2）如圖，過D作DE⊥AB，垂足為E，連接D₁E，DD₁．
由題意知D₁D⊥平面ABC，∴D₁D⊥AB．
又D₁D∩DE=D，∴AB⊥平面D₁DE，D₁E⊥AB，
∴∠D₁ED是二面角D₁-AB-D的平面角．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=60°，AC=1，∴AD=BD=1，
∴E是AB的中點(diǎn)，DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$．
在Rt△D₁DE中，tan∠D₁ED=$\frac{{D}_{1}D}{DE}$=$\sqrt{3}$，
∴∠D₁ED=60°，即二面角D₁-AB-D的大小為60°．

點(diǎn)評 本題主要考查考生對空間幾何體中線面平行、線面垂直關(guān)系的判斷，二面角的平面角的作法及求法，是中檔題．