Question

已知函數(shù)f（x）=

2x

2x+1

，
（1）用函數(shù)單調(diào)性定義證明：f（x）在（-∞，+∞）是增函數(shù)；
（2）試求f（x）=

2x

2x+1

在區(qū)間[1，2]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）設(shè)x₁＜x₂，代入f（x₁）-f（x₂）化簡判斷符號，利用單調(diào)性的定義證明；
（2）由第（1）問，函數(shù)為增函數(shù)，最小值是f（1），最大值是f（2）．

解答： 解：（1）設(shè)x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

2x1

2x1+1

-

2x2

2x2+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，
x₁＜x₂，∴2x1＜2x2，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）為R上的增函數(shù)．              
（2）由（1）可知f(x)=

2x

2x+1

在[1，2]上為增函數(shù)，
則f（x）的最小值是f（1）=

2

2+1

=

2

3

，
f（x）的最大值是f（2）=

22

22+1

=

4

5

．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的證明與應用，其中熟練掌握定義法證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟是解答的關(guān)鍵．