Question

12．已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{CA}$|=2$\sqrt{2}$，則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$的值等于-8．

Answer 1

分析 由三邊的平方和的關(guān)系，可得△ABC為直角三角形，由$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{0}$，兩邊平方結(jié)合向量的平方即為模的平方，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{CA}$|=2$\sqrt{2}$，可得：
|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²=|$\overrightarrow{CA}$|²，
即有△ABC為直角三角形，
由$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{0}$，兩邊平方可得，
|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²+|$\overrightarrow{CA}$|²+2（$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$）=0，
即有$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$=-$\frac{1}{2}$（|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²+|$\overrightarrow{CA}$|²）
=-$\frac{1}{2}$×（3+5+8）=-8．
故答案為：-8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，注意平方法的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．