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3.如圖,在空間幾何體ABCDE中,平面ABC⊥平面BCD,AE⊥平面ABC.
(1)證明:AE∥平面BCD;
(2)若△ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形,DE∥平面ABC,AD與BD,CD所成角的余弦值均為24,求三棱錐D-BEC的體積.

分析 (1)過D作DO⊥BC,則由平面ABC⊥平面BCD得出DO⊥平面ABC,又AE⊥平面ABC,故DO∥AE,于是AE∥平面BCD;
(2)連結(jié)OA,則可證四邊形OAED是矩形,故DE⊥平面BCD.由AD與BD,CD的夾角相等得OD為∠BDC的角平分線,令DO=a,用a表示出CD,AD,在△ACD中利用余弦定理解出a,代入棱錐的體積公式計(jì)算.

解答 (1)證明:過點(diǎn)D作DO⊥BC交BC于點(diǎn)O.
∵平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,DO?平面BCD,DO⊥BC,
∴DO⊥平面ABC,又∵AE⊥平面ABC,
∴AE∥DO.又DO?平面BCD,AE?平面BCD,
∴AE∥平面BCD.
(2)連接AO,∵DE∥平面ABC,DE?平面OAED,平面OAED∩平面ABC=OA,
∴DE∥OA,又∵AE∥DO,AE⊥平面ABC,
∴四邊形AODE是矩形,
∴DE⊥平面BCD.
∵AD與BD,CD所成角的余弦值均為24,
∴BD=CD,∴O為BC中點(diǎn),
設(shè)DO=a,則OB=OC=12BC=1,OA=3.cos∠ADC=24
CD=1+a2AD=3+a2.DE=OA=3
在△ACD中,AC=2,
由余弦定理得:AC2=AD2+CD2-2AD•CD•cos∠ADC,
即4=a2+1+a2+3-2a2+1a2+324,
解得a=1,即DO=1.
∴VD-BEC=VE-BCD=13SBCDDE=13×12×2×1×3=33

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定,面面垂直的性質(zhì),線面垂直的判定,棱錐的體積計(jì)算,屬于中檔題.

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