精英家教網(wǎng)在對(duì)數(shù)函數(shù)y=log 
12
x的圖象上(如圖),有A、B、C三點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)依次為t、t+2、t+4,其中t≥1,
(1)設(shè)△ABC的面積為S,求S=f(t);
(2)判斷函數(shù)S=f(t)的單調(diào)性;
(3)求S=f(t)的最大值.
分析:根據(jù)已知條件,A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為(t,log 
1
2
t),(t+2,log 
1
2
(t+2)),(t+4,log 
1
2
(t+4)),
對(duì)于(1)由圖形得SABC=S梯形ABFE+S梯形BCNF-S梯形ACNE,根據(jù)面積公式代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可得到三角形面積的表達(dá)式
(2)根據(jù)(1)中所求的表達(dá)式研究函數(shù)的單調(diào)性并進(jìn)行證明即可
(3)由(2)所求的單調(diào)性求出三角形面積的最大值.
解答:解:(1)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為(t,log 
1
2
t),(t+2,log 
1
2
(t+2)),(t+4,log 
1
2
(t+4)),由圖形,當(dāng)妨令三點(diǎn)A,B,C在x軸上的垂足為E,F(xiàn),N,則△ABC的面積為
SABC=S梯形ABFE+S梯形BCNF-S梯形ACNE
=-[log 
1
2
t+log 
1
2
(t+2)]-[log 
1
2
(t+2)+log 
1
2
(t+4))]+2[log 
1
2
t+log 
1
2
(t+4))]
=[log 
1
2
t+log 
1
2
(t+4)-2log 
1
2
(t+2)]=log2
(t+2)2
t2+4t
=log2(1+
4
t2+4t
)

即△ABC的面積為S=f(t)=log2(1+
4
t2+4t
)
  (t≥1)
精英家教網(wǎng)
(2)f(t)=log2(1+
4
t2+4t
)
  (t≥1)是復(fù)合函數(shù),其外層是一個(gè)遞增的函數(shù),t≥1時(shí),內(nèi)層是一個(gè)遞減的函數(shù),故復(fù)合函數(shù)是一個(gè)減函數(shù),
(3)由(2)的結(jié)論知,函數(shù)在t=1時(shí)取到最大值,故三角形面積的最大值是
S=f(1)=log2(1+
4
1 +4
)
=log2
9
5
點(diǎn)評(píng):本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運(yùn)算,解題時(shí)要結(jié)合圖象進(jìn)行分析求解,注意計(jì)算能力的培養(yǎng).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)命題甲:關(guān)于x的不等式x2+2ax+4>0對(duì)一切x∈R恒成立,命題乙:對(duì)數(shù)函數(shù)y=log(4-2a)x在(0,+∞)上遞減,那么甲是乙的( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如果對(duì)數(shù)函數(shù)y=log(a+2)x在x∈(0,+∞)上是減函數(shù),則a的取值范圍是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如果對(duì)數(shù)函數(shù)y=log(a+2)x在x∈(0,+∞)上是減函數(shù),則a的取值范圍是( 。
A.a(chǎn)>-2B.a(chǎn)<-1C.-2<a<-1D.a(chǎn)>-1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年廣東省廣州市荔灣區(qū)新會(huì)一中高一(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

如果對(duì)數(shù)函數(shù)y=log(a+2)x在x∈(0,+∞)上是減函數(shù),則a的取值范圍是( )
A.a(chǎn)>-2
B.a(chǎn)<-1
C.-2<a<-1
D.a(chǎn)>-1

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案