Question

已知函數(shù)f（x）=lnax-（a≠0）．
（Ⅰ）求此函數(shù)的單調區(qū)間及最值；
（Ⅱ）求證：a=1時，對于任意正整數(shù)n，均有1+++…+≥ln；
（Ⅲ）當a=1時，是否存在過點（1，-1）的直線與函數(shù)y=f（x）的圖象相切？若存在，有多少條？若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意知a≠0，先對函數(shù)求導，分a＞0，a＜0討論函數(shù)的定義域及單調區(qū)間，從而確定最值．
（II）當a=1時由（I）知函數(shù)f（x）的定義域（0，+∞），在（0，1）是減函數(shù)，[1，+∞）是增函數(shù)，從而有f（x）≥f（1）⇒，分別把x=1，2，3…代入不等式相加可證
（III）假設存在滿足條件的直線與函數(shù)相切，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，求出切線方程，結合導數(shù)的知識推導．
解答：（Ⅰ）解：由題意．（1分）
當a＞0時，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
此時函數(shù)在（0，a）上是減函數(shù)，在（a，+∞）上是增函數(shù)，f_min（x）=f（a）=lna²，無最大值．（3分）
當a＜0時，函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0），
此時函數(shù)在（-∞，a）上是減函數(shù)，在（a，0）上是增函數(shù)，f_min（x）=f（a）=lna²，無最大值．（5分）
（Ⅱ）取a=1，由（1）知，
故，
取x=1，2，3，，
則．（8分）
（Ⅲ）假設存在這樣的切線，設其中一個切點，
切線方程：，將點T坐標代入得：，即，①
設，則．（10分）
∵x＞0，
∴g（x）在區(qū)間（0，1），（2，+∞）上是增函數(shù)，在區(qū)間（1，2）上是減函數(shù)，
故g（x）_極大值=g（1）=1＞0，g（x）_極小值=g（2）=ln2+＞0．
又+12-16-1=-ln4-3＜0，
注意到g（x）在其定義域上的單調性，知g（x）=0僅在內有且僅有一根
所以方程①有且僅有一解，故符合條件的切線有且僅有一條．（12分）
點評：本題考查了導數(shù)的應用：利用導數(shù)研究函數(shù)單調區(qū)間及求最值問題，而對不等式的證明問題，主要是結合函數(shù)的單調性，對于存在性問題，通常是先假設存在，由假設出發(fā)進行推導，若推出矛盾，說明假設錯誤，即不存在，反之說明存在．