Question

14．已知△ABC和△A₁B₁C₁滿足sinA=cosA₁，sinB=cosB₁，sinC=cosC₁．
（1）求證：△ABC是鈍角三角形，并求最大角的度數(shù)；
（2）求sin²A+sin²B+sin²C的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知等式的對(duì)稱性，不妨設(shè)A和B為銳角，可求A=$\frac{π}{2}$-A₁，B=$\frac{π}{2}$-B₁，解得A+B=C₁，結(jié)合已知可得cosC₁=sinC=sinC₁，解得C₁=A+B=45°，從而可求C=135°，即可得解．
（2）由（1）可知，△ABC的三個(gè)角中有一個(gè)角為135°，設(shè)另兩個(gè)角分別為α，45-α，利用三角函數(shù)降冪公式可得sin²A+sin²B+sin²C=$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（45°+2α），根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得最小值．

解答 解：（1）由對(duì)稱性，不妨設(shè)A和B為銳角，則A=$\frac{π}{2}$-A₁，B=$\frac{π}{2}$-B₁，
所以：A+B=π-（A₁+B₁）=C₁，
于是：cosC₁=sinC=sin（A+B）=sinC₁，即：tanC₁=1，解得：C₁=45°，
可得：A+B=45°，
所以：C=135°
所以：△ABC是鈍角三角形，且最大角為135°．
（2）由（1）可知，△ABC的三個(gè)角中有一個(gè)角為135°，設(shè)另兩個(gè)角分別為α，45-α，
則：sin²A+sin²B+sin²C=$\frac{1}{2}+$sin²α+sin²（45-α）=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$（cos2α+sin2α）=$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（45°+2α），
故：sin²A+sin²B+sin²C的最小值為$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)降冪公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．