Question

11．已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=log_a$\frac{2}{1-x}$．
（1）求f（x）的定義域D及其零點；
（2）設(shè)g（x）=mx²-2mx+3，當a＞1時，若對任意x₁∈（-∞，-1]，存在x₂∈[3，4]，使得f（x₁）≤g（x₂），求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的定義域即可，令f（x）=0，求出函數(shù)的零點即可；
（2）要滿足題意只需f（x）_max≤g（x）_max，易得f（x）_max=f（-1）=0，由二次函數(shù)分類討論可得g（x）_max，解關(guān)于m的不等式可得．

解答 解：（1）由題意知，$\frac{2}{1-x}$＞0，1-x＞0，解得x＜1，
所以函數(shù)f（x）的定義域為：（-∞，1），
令f（x）=0，得$\frac{1}{1-x}$=1，解得：x=-1，
故函數(shù)f（x）的零點為-1；
（2）若對于任意x₁∈（-∞，-1]，存在x₂∈[3，4]，使得f（x₁）≤g（x₂）成立，
只需f（x）_max≤g（x）_max，
當a＞1時，f（x）在（-∞，1]上單調(diào)遞增，則f（x）_max=f（-1）=0，
當m=0時，g（x）=3，f（x₁）≤g（x₂）成立，
當m＞0時，g（x）在[3，4]上單調(diào)遞增，g（x）_max=g（4）=8m+3，
由8m+3≥0，解得：m≥-$\frac{3}{8}$，∴m＞0，
當m＜0時，g（x）在[3，4]上單調(diào)遞減，g（x）_max=g（3）=3m+3，
由3m+3≥0，解得：m≥-1，∴-1≤m＜0，
綜上，滿足條件的m的范圍是：m≥-1．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，涉及單調(diào)性和分類討論的思想，屬中檔題．