Question

在一個人數(shù)很多的單位中普查某種疾病，n個人去驗血，可以用兩種方案進行：

（1）每個人的血分別化驗，這需要n次；

（2）按k個人一組進行分組，把k個人的血混在一起化驗，如果結(jié)果是陰性的，那么這k個人只作一次化驗就夠了，如果結(jié)果是陽性的，那么就必須對這k個人逐一化驗，即對這k個人進行k+1次化驗，假定對所有人來說，化驗是陽性反應的概率都是p，且這些人的化驗是相互獨立的，求按第二種方案這n個人平均需要化驗的次數(shù).

 

Answer 1

點拔：第二種方案中k個人一組化驗，呈陰性和呈陽性時每個人的血化驗的次數(shù)為隨機變量ξ的取值，所以第二種方案這n個人平均化驗的次數(shù)即為nEξ.

解析：按第二種方案，k個人一組化驗，若混合呈陰性，則一個人的血化驗次，若混合呈陽性，則一個人的血化驗次.

又k個人的混合血化驗是陰性的概率是（1-p）^k，呈陽性的概率是1-（1-p）^k.

于是有分布列

ξ
P	（1-p）k	1-（1-p）k

∴平均化驗次數(shù)即ξ的數(shù)學期望.

∴Eξ=（1-p）^k+ ［1-（1-p）^k］=1+-（1-p）^k.

∴按第二種方案這n個人平均需要化驗的次數(shù)為n［1+-（1-p）^k］.