Question

在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且滿足（2a+c）cosB+bcosC=0
（1）求角B的大小
（2）若△ABC外接圓半徑為

3

，求a+c 的范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)等式（2a+c）cosB+bcosC=0，結(jié)合兩角和的正弦公式算出sinA（2cosB+1）=0．由sinA＞0解出cosB=-

1

2

，從而可得B=

2π

3

；
（2）算出b=2RsinB=3，利用余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子算出a²+c²+ac=9．配方得（a+c）²=9+ac，再利用基本不等式加以計(jì)算，可得（a+c）²≤12，從而得到a+c的最大值為2

3

．再根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，可得a+c的取值范圍．

解答：解：（1）∵（2a+c）cosB+bcosC=0，
∴由正弦定理，得（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0．
即2sinAcosB+（sinCcosB+cosCsinB）=0
∵sin（C+B）=sinCcosB+sinBcosC，且sin（C+B）=sin（π-A）=sinA，
∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0．
∵A∈（0，π），可得sinA＞0，∴2cosB+1=0，得cosB=-

1

2

．
結(jié)合B是三角形的內(nèi)角，可得B=

2π

3

；
（2）∵ABC外接圓半徑為R=

3

，∴b=2RsinB=2

3

×sin

2π

3

=3．
由余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB=9，
∴a²+c²-2accos

2π

3

=9，化簡(jiǎn)得a²+c²+ac=9．
配方可得（a+c）²=9+ac，
∵ac≤[

1

2

（a+c）]²，∴（a+c）²≤9+

1

4

（a+c）²，解之得（a+c）²≤12，
因此a+c≤2

3

，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立．
又∵△ABC中，a+c＞b=

3

，
∴a+c的范圍為（

3

，2

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形的邊角關(guān)系式，求角B的大小并求a+c的取值范圍．著重考查了三角恒等變換、兩角和的正弦公式、正余弦定理解三角形等知識(shí)，屬于中檔題．