Question

已知f（x）為定義在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）為二次函數，且滿足f（x）的最小值 f（3）=-4，且f（1）=0
（1）求函數f（x）在R上的解析式；
（2）作出f（x）的圖象，并根據圖象指出關于x的方程f（x）-c=0（c∈R）根的個數 分別為3個，4個時，c的值或范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數的奇偶性求函數f（x）的解析式；
（2）根據函數的表達式作出函數的圖象，根據函數的圖象確定方程f（x）-c=0（c∈R）根的個數分別為3個，4個時，c滿足的條件．

解答：解：（1）當x＞0時，f（x）為二次函數，且滿足f（x）的最小值 f（3）=-4，且f（1）=0
∴設f（x）=a（x-1）（x-5），
則函數過（3，-4），
即-4a=-4，
∴a=1，
∴x＞0時，f（x）=（x-1）（x-5）=x²-6x+5，
當x＜0時，-x＞0，
∴f（-x）=x²+6x+5
∵f（x）是奇函數，
f（-x）=-f（x），即f（-x）=x²+6x+5=-f（x），
∴f（x）=-x²-6x-5，x＜0，
又f（0）=0，
∴f（x）=

x2-6x+5，x＞0 0，  x=0 -x2-6x-5，x＜0

．
（2）作出函數f（x）的圖象如圖：
∴f（x）=c的根的個數
①3個根：c=4或c=-4
②4個根：-4＜c＜4且c≠0．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，以及函數的圖象應用，利用函數圖象可以確定方程根的個數．