Question

如圖，是函數(shù)y=(

1

2

)x和y=3x²圖象的一部分，其中x=x₁，x₂（-1＜x₁＜0＜x₂）時(shí)，兩函數(shù)值相等．
（1）給出如下兩個(gè)命題：①當(dāng)x＜x₁時(shí)，(

1

2

)x＜3x2；②當(dāng)x＞x₂時(shí)，(

1

2

)x＜3x2，試判定命題①②的真假并說明理由；
（2）求證：x₂∈（0，1）．

Answer 1

分析：（1）命題①是假命題，可以舉反例：取x=-10，進(jìn)行驗(yàn)證即可；命題②是真命題，利用函數(shù)y=(

1

2

)x在[x₂，+∞）上是減函數(shù)，函數(shù)y=3x²在[x₂，+∞）上是增函數(shù)，即可證得；
（2）先將函數(shù)圖象交點(diǎn)范圍問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)=3x2-(

1

2

)x，的零點(diǎn)問題，再利用零點(diǎn)存在性定理，判斷零點(diǎn)范圍即可作出證明．

解答：解：（1）命題①是假命題，可以舉反例：取x=-10，則x＜x₁，但是(

1

2

)-10=1024，3×（-10）²=300，(

1

2

)x＜3x2不成立；
命題②是真命題，∵函數(shù)y=(

1

2

)x在[x₂，+∞）上是減函數(shù)，函數(shù)y=3x²在[x₂，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x＞x₂時(shí)，(

1

2

)x＜(

1

2

)x2=3

x

2 2

＜3x2；
（2）構(gòu)造函數(shù)f(x)=3x2-(

1

2

)x，則f（0）=-1＜0，f(1)=

5

2

＞0，
∴f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，又∵函數(shù)f(x)=3x2-(

1

2

)x在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的零點(diǎn)唯一，即x₂，
∴x₂∈（0，1）；

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理和零點(diǎn)范圍的判斷方法，函數(shù)零點(diǎn)問題與函數(shù)圖象交點(diǎn)問題間的聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化，一定的運(yùn)算能力和比較大小能力