Question

設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e=

3

2

，已知點(diǎn)P（0，

3

2

）到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)距離是

7

．求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于

7

的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件取橢圓的參數(shù)方程

x=aosθ y=bsinθ

，其中0≤θ＜2π，根據(jù)已知條件和橢圓的性質(zhì)能夠推出b=1，a=2．從而求出這個(gè)橢圓的方程和橢圓上到點(diǎn)P的距離等于

7

的點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：根據(jù)題設(shè)條件，可取橢圓的參數(shù)方程是

x=acosθ y=bsinθ

，其中0≤θ＜2π，
由e2=

c2

a2

=1-(

b

a

)2可得

b

a

=

1-e2

=

1- 3 4

=

1

2

，即a=2b．
設(shè)橢圓上的點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)P的距離為d，則
d2=x2+(y-

3

2

)2
=a2cos2θ+(bsinθ-

3

2

)2
=a2-(a2-b2) sin2θ-3bsinθ+

9

4

=4b2-3b2sin2θ-3bsinθ+

9

4

=-3b2(sinθ+

1

2b

)2+4b2+3．
如果

1

2b

＞1，即b＜

1

2

，則當(dāng)sinθ=-1時(shí)，d²有最大值，由題設(shè)得(

7

)2=(b+

3

2

)2，
由此得b=

7

-

3

2

＞

1

2

，與b＜

1

2

矛盾．
因此必有

1

2b

≤1成立，于是當(dāng)sinθ=-

1

2b

時(shí)，d²有最大值，由題設(shè)得(

7

)2=4b2+3，
由此可得b=1，a=2．
∴橢圓的方程是

x2

4

+

y2

1

=1，所求橢圓的參數(shù)方程是

x=2cosθ y=sinθ

，由sinθ=-

1

2

，cosθ=±

3

2

可得，
橢圓上的點(diǎn)(-

3

，-

1

2

)和(

3

，-

1

2

)到點(diǎn)P的距離都是

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意參數(shù)方程的合理運(yùn)用．