【題目】已知,定點,定直線和上的動點滿足：在直線的同側,點在直線的另一側.以為焦點作與直線相切的橢圓,且當在上運動時,橢圓的長軸長為定值.

(1)求直線的方程；

(2)對于第一象限內任意2012個在橢圓上的點,是否一定可以將它們分成兩組,使得其中一組點的橫坐標之和不大于2013,另一組點的縱坐標之和不大于2013?請證明你的結論.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

(1)設點關于直線的對稱點為.則過橢圓與直線的切點.從而, (即橢圓的長軸長)為定值.于是,點Q在以為圓心、為半徑的圓上.

由的任意性及在上,知.故點與重合,即直線為線段的中垂線.

注意到,.

因為的中點為,所以,直線的方程為.

(2)可以.

設這2012個點為.

由(1)知直線的方程為.

又易知點在直線的下方,故,且.

不失一般性,不妨設.

(i)若,則將點分為一組,點作為一組符合題意.

(ii)若,則存在,使得

,且.

于是,對任意的,有.

故

將點分為一組,點分為一組.則前一組點的橫坐標之和不大于2013,后一組點的縱坐標之和不大于2013.

練習冊系列答案
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（1）求曲線的直角坐標方程；

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（2）求領操員記錄下的編號之和．

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A.18B.24C.30D.36

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（1）完成列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認為“對冰壺運動是否有興趣與性別有關”？

有興趣

沒有興趣

合計

男

30

女

15

合計

120

（2）用分層抽樣的方法從樣本中對冰壺運動有興趣的學生中抽取8人，求抽取的男生和女生分別為多少人？若從這8人中選取兩人作為冰壺運動的宣傳員，求選取的2人中恰好有1位男生和1位女生的概率.

附:，其中n=a+b+c+d

P

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

2.072

2.076

3.841

5.024

6.635

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“購物評價為滿意”的年齡層次頻數(shù)分布表：

年齡（歲）

頻數(shù)

（1）估計參與此次活動的買家的平均年齡（同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值做代表）；

（2）若年齡在歲以下的稱為“青年買家”，年齡在歲以上（含歲）的稱為“中年買家”，完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認為中、青年買家對此次活動的評價有差異？

評價滿意

評價不滿意

合計

中年買家

青年買家

合計

附：參考公式：.

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