Question

18．已知y=f（x）是定義在R上的函數(shù)，且f（2）=5，對任意的x都有f′（x）＜$\frac{1}{2}$．則f（x）＜$\frac{1}{2}$x+4的解集是（2，+∞）．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x-4，則F′（x）＜0，故而F（x）為減函數(shù)，且F（2）=0，從而得出F（x）＜0的解集．

解答 解：設(shè)F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x-4，
則F′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$＜0，
∴F（x）是減函數(shù)，
∵F（2）=f（2）-5=0，
∴當(dāng)x＞2時，F(xiàn)（x）＜0，即f（x）＜$\frac{1}{2}$x+4，
當(dāng)x＜2時，F(xiàn)（x）＞0，即f（x）＞$\frac{1}{2}$x+4．
故答案為：（2，+∞）

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性與不等式的解，屬于中檔題．