Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，O為AC，BD的交點(diǎn)，且PO⊥底面ABCD，OB=2，OD=1，OP=

2

．
（Ⅰ）求異面直線PD與BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角P-AB-C的大��；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)M在棱PC上，

PM

MC

=λ，問(wèn)λ為何值時(shí)，PC⊥平面BMD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)CD=

2

，AB=2

2

，BC=

5

，取AB中點(diǎn)E，連接DE，PE，則有四邊形BCDE為平行四邊形，則BC∥DE，故∠PDE為異面直線PD與BC所成角（或其補(bǔ)角），由此能求出異面直線PD與BC所成角的余弦值．
（Ⅱ）連接OE，則OE⊥AB，AB⊥平面POE，所以∠PEO即為所求二面角的平面角，由此能求出二面角P-AB-C的大�。�
（Ⅲ）連接OM，由題設(shè)，PC⊥BD，若PC⊥平面BMD，只須PC⊥OM即可，由此能求出λ的值．

解答：（本小題13分）
解：（Ⅰ）∵底面ABCD為等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，
O為AC，BD的交點(diǎn)，且PO⊥底面ABCD，OB=2，OD=1，OP=

2

．
∴CD=

2

，AB=2

2

，BC=

5

，取AB中點(diǎn)E，
連接DE，PE，則有四邊形BCDE為平行四邊形，
則BC∥DE
故∠PDE為異面直線PD與BC所成角（或其補(bǔ)角）…（3分）
又PD=

3

，DE=

5

，PE=2，
由余弦定理求得：
cos∠PDE=

PD2+DE2-PE2

2PD•DE

=

2

15

15

…（5分）
（Ⅱ）連接OE，則OE⊥AB，AB⊥平面POE，
∴∠PEO即為所求二面角的平面角，
∵BE=

2

，BO=2，OE⊥AB，
∴OE=

4-2

=

2

，
∴∠PEO=45°…（9分）
（Ⅲ）連接OM，由題設(shè)，PC⊥BD，
若PC⊥平面BMD，只須PC⊥OM即可，
在Rt△POC中，PM=

PO2

PC

=

2

3

3

=

2

3

PC，
∴λ=2…（13分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查二面角的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題．