Question

下列命題：
①設a，b是非零實數(shù)，若a＜b，則ab²＜a²b；
②若a＜b＜0，則

1

a

＞

1

b

；
③函數(shù)y=

x2+3

x2+2

的最小值是2；
④若x、y是正數(shù)，且

1

x

+

4

y

=1，則xy有最小值16．
其中正確命題的序號是

②④

．

Answer 1

分析：①的結論不成立，舉出反例即可；
②由同號不等式取倒數(shù)法則，知，知②成立；
③函數(shù)y=

x2+3

x2+2

=

x2+2

+

1

x2+2

≥2的前提條件是

x2+2

=1，由

x2+2

≥2，知函數(shù)y=

x2+3

x2+2

的最小值不是2；
④由x、y是正數(shù)，且

1

x

+

4

y

=1，知

4

xy

≤(

1

2

)2=

1

4

，故xy≥16．

解答：解：設a，b是非零實數(shù)，若a＜b，則ab²＜a²b，此結論不成立，
反例：令a=-10，b=-1，則ab²=-10＞a²b=-100，故①不成立；
若a＜b＜0，由同號不等式取倒數(shù)法則，知

1

a

＞

1

b

，故②成立；
函數(shù)y=

x2+3

x2+2

=

x2+2

+

1

x2+2

≥2的前提條件是

x2+2

=1，
∵

x2+2

≥2，∴函數(shù)y=

x2+3

x2+2

的最小值不是2，故③不正確；
∵x、y是正數(shù)，且

1

x

+

4

y

=1，
∴

4

xy

≤(

1

2

)2=

1

4

，
∴xy≥16，故④正確．
故答案為：②④．

點評：本題考查命題的真假判斷，解題時要注意同號不等式取倒數(shù)法則、均值不等式成立的條件等知識點的靈活運用．