函數(shù),過曲線上的點的切線方程為.
(1)若在時有極值,求的表達式;
(2)在(1)的條件下,求在[-3,1]上的最大值;
(3)若函數(shù)在區(qū)間[-2,1]上單調(diào)遞增,求實數(shù)b的取值范圍.
解 (1)由f(x)=x3+ax2+bx+c求導(dǎo)數(shù)得f′(x)=3x2+2ax+b.過y=f(x)上點P(1,f(1))的切線方程為y-f(1)=f′(1)(x-1),
即y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1).而過y=f(x)上點P(1,f(1))的切線方程為y=3x+1.故即
∵y=f(x)在x=-2時有極值,故f′(-2)=0.∴-4a+b=-12. ③
由①②③聯(lián)立解得a=2,b=-4,c=5,∴f(x)=x3+2x2-4x+5.
(2)f′(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2),令f′(x)=0,解得x=或x=-2.
列下表:
x |
-3 |
(-3,-2) |
-2 |
(-2,) |
(,1) |
1 |
|
f′(x) |
|
+, |
0 |
- |
0 |
+ |
|
f(x) |
8 |
極大值 |
極小值 |
4 |
∴f(x)的極大值為f(-2)=13,極小值為f()=.又∵f(-3)=8,f(1)=4,
∴f(x)在[-3,1]上的最大值為13.
(3)y=f(x)在[-2,1]上單調(diào)遞增.又f′(x)=3x2+2ax+b.由(1)知2a+b=0.
∴f′(x)=3x2-bx+b.依題意在[-2,1]上恒有f′(x)≥0,即3x2-bx+b≥0在[-2,1]上恒成立,
當(dāng)x=≥1時,即b≥6時,[f′(x)]min=f′(1)=3-b+b>0,∴b≥6時符合要求.
當(dāng)x=≤-2時,即b≤-12時,[f′(x)]min=f′(-2)=12+2b+b≥0,∴b不存在.
當(dāng)-2<<1即-12<b<6時,[f′(x)]min=≥0,∴0≤b<6,
綜上所述b≥0.
【解析】略
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆海南瓊海嘉積中學(xué)高二上教學(xué)監(jiān)測(三)理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分12分)
函數(shù),過曲線上的點的切線方程為
(Ⅰ)若在時有極值,求的表達式;
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆四川省高二下期中文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(12分)函數(shù),過曲線上的點的切線斜率為3.
(1)若在時有極值,求f (x)的表達式;
(2)在(1)的條件下,求在上最大值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年湖北省高三八月月考理科數(shù)學(xué)卷 題型:解答題
(14分)函數(shù),過曲線上的點的切線方程為.
(1)若在時有極值,求f (x)的表達式;
(2)在(1)的條件下,求在上最大值;
(3)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求b的取值范
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本題滿分12分)已知函數(shù),過曲線上的點的切線方程為.
(Ⅰ)若在時有極值,求表達式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求在的最大值;
(Ⅲ)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,求實數(shù)的取值范圍.
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