Question

如圖所示，C是半圓弧x²+y²=1（y≥0）上一點(diǎn)，連接AC并延長至D，使|CD|=|CB|，則當(dāng)C點(diǎn)在半圓弧上從B點(diǎn)移動(dòng)至A點(diǎn)時(shí)，D點(diǎn)所經(jīng)過的路程為

2

π

．

Answer 1

分析：先求AD，BD的斜率，再利用夾角公式可求得點(diǎn)D的軌跡是以點(diǎn)（0，1）為圓心、

2

為半徑的半圓，從而可解．

解答：解：設(shè)點(diǎn)D（x，y）（其中D點(diǎn)不與A、B兩點(diǎn)重合），連接BD，
由題意得，kAD=

y

x+1

，kBD=

y

x-1

∵∠ADB=45°，
∴tan∠ADB=

kBD-kAD

1+kBDkAD

由此化簡得x²+（y-1）²=2（其中D點(diǎn)不與A、B兩點(diǎn)重合）．
又因?yàn)镈點(diǎn)在A、B點(diǎn)時(shí)也符合題意，
因此點(diǎn)D的軌跡是以點(diǎn)（0，1）為圓心、

2

為半徑的半圓，
點(diǎn)D所經(jīng)過的路程

2

π．
故答案為

2

π

點(diǎn)評(píng)：本題以半圓為載體，考查軌跡問題，關(guān)鍵是利用到角公式求解，有一定的難度．