Question

11．已知函數(shù)f（x）=x²-alnx，a∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值記為g（a），證明：g（a）≤1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為2+$\frac{a}{{x}^{2}}$＞0在（1，+∞）恒成立，求出a的范圍即可；
（Ⅱ）求出f′（x），通過討論a的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅲ）求出g（a）=f（$\sqrt{\frac{a}{2}}$）=$\frac{a}{2}$-$\frac{a}{2}$ln$\frac{a}{2}$，（a＞0），令t=$\frac{a}{2}$，則t＞0，則m（t）=t-tlnt，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出m（t）≤1即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x²-alnx，定義域是（0，+∞），
f′（x）=2x-$\frac{a}{x}$，f″（x）=2+$\frac{a}{{x}^{2}}$
若f′（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，
則2+$\frac{a}{{x}^{2}}$＞0在（1，+∞）恒成立，
∴a＞（-2x²）_max
∴a＞-2；
（Ⅱ）f′（x）=2x-$\frac{a}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-a}{x}$，
a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，
a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{\frac{a}{2}}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{\frac{a}{2}}$，
∴f（x）在（0，$\sqrt{\frac{a}{2}}$）遞減，在（$\sqrt{\frac{a}{2}}$，+∞）遞增；
證明：（Ⅲ）由（Ⅱ）得g（a）=f（$\sqrt{\frac{a}{2}}$）=$\frac{a}{2}$-$\frac{a}{2}$ln$\frac{a}{2}$，（a＞0），
令t=$\frac{a}{2}$，則t＞0，則m（t）=t-tlnt，m′（t）=-lnt，
令m′（t）＞0，解得：0＜t＜1，令m′（t）＜0，解得：t＞1，
∴m（t）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
m（t）_max=m（1）=1，
∴m（t）≤1，
∴g（a）≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．